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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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3. Hallar, en cada caso, el dominio, la imagen, las ecuaciones de las asintotas verticales, los ceros, y los conjuntos de positividad y de negatividad de:
b) $f(x)=\ln \left(x^{2}-4\right)$

Respuesta

Hallemos el dominio: $x^{2}-4 > 0$ $x^2  > 4$

$|x| > \sqrt{4}$

$|x|>2$

Descomponemos el módulo y nos queda:

x>2 ó x<-2, por lo tanto: • $Domf= (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$


Hallemos la imagen: La función logaritmo natural puede tomar cualquier valor real como salida. Esto significa que la imagen de $f(x)$ es $(-\infty, +\infty)$, lo que es lo mismo: • $Imf= \Re$



Hallemos la asíntota vertical: Para las funciones logarítmicas evaluamos el límite en el borde del dominio: $ \lim_{{x \to -2^+}} \ln(x^2 - 4) = -\infty $ $ \lim_{{x \to 2^-}} \ln(x^2 - 4) = -\infty $ • Hay AV en $x = -2$ y en $x=2$ 

Hallemos los ceros: $f(x) = 0$ $\ln(x^2 - 4) = 0$ Aplico $e$ de ambos lados y nos queda: $x^2 - 4 = e^0$ $x^2 - 4 = 1$ $x^2 = 5$ $|x| = \sqrt{5}$

Descomponemos el módulo y nos queda:

$x = -\sqrt{5}$ y $x = \sqrt{5}$


• $C^0 = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}$




Conjuntos de positividad y negatividad: Aplicando Bolzano, teniendo en cuenta el dominio de la función y los ceros, nos queda:
•$C^+ = (-\infty, -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, +\infty)$
•$C^- = (-\sqrt{5};-2) \cup (2; \sqrt{5})$


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Avatar Morena 19 de mayo 21:44
hola juli una pregunta media boluda, pongo en la calculadora ln (-4^2-4) y me da error como tendria que hacer? Para sacar bolzano lo hago
Avatar Julieta Profesor 20 de mayo 11:54
@Morena Hola More! Para nada boluda tu pregunta! Eso es porque no están poniendo la $x$ entre paréntesis, es decir, tenés que poner: ln((-4)^2-4) 
¿Por qué? porque la calcu sino interpreta que la función que le estás dando es: $\ln(-x^2-4)$, pero en realidad la función es $\ln(x^2-4)$ -> la $x$ no tiene un menos delante. 

El valor por el que reemplazás $x$ es -4, pero TOOODO el -4 tiene que estar elevado al cuadrado. Y recordá que todo número elevado al cuadrado da positivo. 

Ahora sí, te va a quedar un argumento positivo para el logaritmo. De la otra forma te queda un logaritmo negativo y eso no existe, por eso la calcu daba error.
Avatar Bel 16 de mayo 12:45
Juli, por qué planteás el límite con 2 por izquierda y te da -inf? por qué no podría ser por derecha? entiendo que al ser un número positivo se podría de ambas maneras no? 
Avatar Julieta Profesor 17 de mayo 18:25
@Bel Hola Bel! Fijate cómo planteamos los límites en esta función compuesta (y en todas las logarítmicas): mirando bien el dominio: $Domf= (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

La función no existe entre (-2; 2), no hay chance de que puedas evaluar a -2 por derecha ni a 2 por izquierda ¿se entiende? la función ahí chau, no existe!

Por eso digo que en logaritmos, uno evalúa en el borde del intervalo en el dominio (el borde que no es infinito, claro está).

Entonces, para la función de este ejercicio, como su $Domf= (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, solo te queda la posibilidad de evaluar: 


$
\lim_{{x \to -2^+}} \ln(x^2 - 4) = -\infty
$

$
\lim_{{x \to 2^-}} \ln(x^2 - 4) = -\infty
$
Avatar Bel 18 de mayo 10:14
@Julieta entiendo lo que planteas del bache de -2 al  2, pero justamente si venis por izquierda hacia el 2, no debería darte + inf? 
Avatar Tamara 25 de septiembre 11:20
Yo tampoco entiendo como hacer Bolzano aca
Avatar Liz Respuesta Correcta 29 de septiembre 14:47
@Tamara hace como siempre: agarra el dominio de la funcion y separalo donde tengas las raices. Ahi te quedan los intervalos. Después tomá un valor de x que este dentro de cada intervalo y reemplazalo en la función para ver si la funcion te da un valor positivo o negativo. Si te da positivo ese intervalo es C+ y si te da negativo es C-
Avatar Mallo 23 de septiembre 20:37
juli como hago los limites no entiendo en que video lo explicas, 
Avatar Julieta Profesor 29 de septiembre 14:35
@Mallo Hola! En el video de funciones logarítmicas
Avatar Maria 15 de mayo 22:15
Hola Juli! No entiendo por qué qué el intervalo (-raiz 5; -2) pertenece al C de negatividad? A mi me da positivo 😩
Avatar Julieta Profesor 17 de mayo 03:00
@Maria Revisá las cuentas, sino dejalo y avanzá, y volvé más tarde, a veces nos nos empezamos a embarrar con un ejercicio y quizás lo único que trababa era un signo o un número mal puesto en la calcu. Y no vale la penar perderse ahí. Cuando es así avanzá y después en otro momento más fresquita lo volvés a hacer.
Avatar Alicia 14 de mayo 21:15
Hola Juli, el intervalo (-2;2) del dominio, no va incluído en C negatividad?
Avatar Liz Respuesta Correcta 29 de septiembre 14:50
@Daniela Agarra el dominio de la funcion y separalo donde tengas las raices. Ahi te quedan los intervalos (son 4 intervalos en total).

Después tomá un valor de x que este dentro de cada intervalo y reemplazalo en la función para ver si la funcion te da un valor positivo o negativo. Si te da positivo ese intervalo es C+ y si te da negativo es C-. Espero que te sirva. Ahh y raíz de 5 es 2,23, te lo digo para cuando busques valores en los intervalos
Avatar Julieta Profesor 17 de mayo 02:59
@Alicia Hola Ali, NOO porque no pertenece al dominio de la función, ahí no existe f
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